Day024/Total366
癸卯·兔年· 一月二十四日
高一上学期期末复习
内容
专题七 三角函数的图象与性质
适用
迎接期末的高一生
备注
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(一) 两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
(二) 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=(α+β)/(2)+(α-β)/(2)；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．
(三) 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
(四) 解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式创业项目，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
(五) 给值(式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(六) 解决给值(式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是((π)/(2)，(3π)/(2))或(-(π)/(2)，(π)/(2))时同角，选取求正弦值．
(七) 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“sqrt(3)”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1=tan (π)/(4)”，“sqrt(3)=tan (π)/(3)”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
(八) 给值求值(角)
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
(九) 两角和与差的正切公式的综合应用
(1)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形．
①tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)；
②1-tanαtanβ=(tanα+tanβ)/(tan(α+β))；
③tanα+tanβ+tanα·tanβ·tan(α+β)=tan(α+β)；
④tanα·tanβ=1-(tanα+tanβ)/(tan(α+β)).
(十) 对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
(十一) 解决给值求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化．
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(3)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin2x=cos((π)/(2)-2x)=cos[2((π)/(4)-x)]=2cos²((π)/(4)-x)-1=1-2sin²((π)/(4)-x)；
②cos2x=sin((π)/(2)-2x)=sin[2((π)/(4)-x)]=2sin((π)/(4)-x)cos((π)/(4)-x).
(十二) 证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
(十三) 三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
(十四) 研究三角函数的性质
如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y=asinx+bcosx转化为y=Asin(x+φ)或y=Acos(x+φ)的形式同角，以便研究函数的性质．
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